piątek, 29 kwietnia 2011
W teorii fluktuacji do opisu pola konstruujemy P-klasę (g , λ ) dla tensora metrycznego g o nieokreślonej symetrii. Zajmiemy się w szczególności czterowymiarowymi tensorami, choć teoria nie narzuca ograniczeń na liczbę wymiarów. Zagadnienie własne operatora g generuje jego widmo λ. Tensor metryczny zadaje geometrię przestrzeni choć nieokreśloność jego symetrii nie przesądza o komutatywności współrzędnych w tej przestrzeni. Dodatkowo degeneracja wartości własnych operatora g pozwala traktować jego widmo jak niezmiennik topologiczny; dwie różne geometrie mogą mieć tę samą topologię, analogicznie dwa różne stany własne mogą przynależeć do tej samej wartości własnej. W konsekwencji analiza trójwymiarowej powierzchni pozwala na wyrugowanie widma, tak iż na klasie pozostaną tylko elementy tensora metrycznego. Następnie definiujemy odwzorowanie produktu obiektów klasy na podrozmaitość. Przy konstrukcji polowej teorii fluktuacji można posłużyć się aparatem algebry homologicznej (V.Batyrev, Ch.Soulé). Główne zadanie polega wówczas na odpowiednim doborze bazy, aby postać relacji zachowywała topologiczną niezmienniczość oraz spełniała zasadę superpozycji na pewnych strukturach. W tym celu rozważamy topos T będący systemem produktów obiektów na klasach i brzegów rozmaitości wraz z dwuargumentową operacją mnożenia , tak iż system T jest zamknięty ze względu na tę operację. Wtedy ciąg obiektów i morfizmów zachowujących topologię pozwala na teoriokategoryjne zdefiniowanie zasady superpozycji gκθα3×gγφ∏ gεφ×gεφ↳gγθα3×gκφ∏ gεφ×gεφ→C∏ gεφ×gεφ C: gκθα3×gγφ↳gγθα3×gκφ Taka definicja nie prowadzi jednak do rozszerzenia tej zasady poza system T. Określa jedynie topologiczną niezmienniczość względem morfizmów étalnych i rzutów topologicznych. Morfizmy są tu funktorami gdyż stanowią przyporządkowania systemów z jednakowo zdefiniowanymi operacjami na obiektach systemu. Produkty obiektów na klasach są określone z dokładnością do dowolnego czynnika liczbowego αij. W konsekwencji iloczyny na schematach i toposach są prawostronnie jednorodne. W zapisie iloczynów tensorowych na kategoriach i oznaczając reprezentacje poprzez wymiary przestrzeni wektorowych, są to operacje typu 3⊗2. W przypadku schematów rozdzielność mnożenia ⋀ względem dodawania generowana jest przez izomorfizm ⊕i,j∈ℤ αij(m0γθακφ⋀gε(i) φ×gε(j) φ)→ m0γθακφ⊕i,j∈ℤ ⋀ αij gε(i) φ×gε(j) φ Rzut topologiczny jest tutaj funktorem zachowującym liniowość prawostronnego operatora m0γθακφ⋀ . Zasadnym wydaje się wprowadzenie tzw. górnego iloczynu ⋀ na schematach, który traktowany tak samo jak „zwykły” iloczyn ⋀ czyli prawostronny operator działający na produkt obiektów klasy, jest przemienny z operacją dodawania zespolonych kombinacji liniowych obiektów. Ponadto iloczyn tensorowy typu 1⊗1 jest z definicji symetryczny ze względu na każdą parę odpowiadających sobie indeksów tensora g.
piątek, 29 października 2010
Na bazie macierzy Pauliego rozpinamy algebrę H kwaternionów nad ciałem liczb rzeczywistych na przedziale [-1,1] . Liczbom tym nadajemy postać funkcji trygonometrycznych. Następnie poddajemy uśrednianiu elementy pola tak aby odpowiadały metryce Minkowskiego. Bezpośrednim sposobem uzyskania interwału o takiej metryce jest znalezienie wyznacznika iloczynu skalarnego czterowektora x z wektorem macierzowym Pauliego. Tensor metryczny zadany jest równaniem gλσgλσj=(xλσj)2 Tensor Einsteina określa ideał algebry Clifforda wyznaczonej poprzez iloczyn tensorowy algebr H, tak iż tensor Ricciego jest ideałem algebry Grassmanna. Równanie pola określa wówczas związek pomiędzy skalarem Ricciego i niezerowym elementem macierzowym składowej operatora momentu pędu. Odpowiada on przeskokowi układu ze stanu o liczbie kwantowej M do stanu o liczbie M-1. Ciągłość równania okazuje się wówczas konsekwencją zależności rekurencyjnej, kiedy to w efekcie sumowania elementów tensora energii-pędu tensor Riemanna ulega zwężeniu do tensora metrycznego. Elementy kwantowego tensora metrycznego przyjmują tylko dwie wartości: 1 oraz 1/3 (Obie są wynikiem uśredniania elementów grupy kwaternionów). Ponadto dla tensora metrycznego istnieje morfizm do tensora pola. Zbiór M różnic wszystkich metryk o tym samym interwale stanowi magnetyczną liczbę kwantową układu n cząstek. Oznacza to iż M jest zbiorem o zerowym interwale. Jest on wówczas morficzny z tensorem pola elektromagnetycznego. Kwadrat momentu pędu jest zaś ogólnie niezmienniczym interwałem, którego metryka jest morficzna ze składową uogólnionego wektora momentu pędu o zerowej wartości średniej. Formalnie odpowiada on operatorowi anihilacji układu n cząstek.
czwartek, 17 czerwca 2010
Jeżeli zdefiniujemy sympleks σn jako wyznacznik diagonalnej macierzy nieosobliwej Pn wierzchołków Aj(i) tak iż
(Pn)ik=δik(-1)iAj(i) k , i = 0 , 1 , ..., n
oraz wierzchołki uporządkowane są na diagonali w kierunku rosnących (i), wówczas brzeg sympleksu jest wynikiem przemnożenia σn przez ślad macierzy Pn-1 Jednocześnie odwzorowanie σn → R jest surjekcją. W oparciu o zamknięty cykl lub brzeg zorientowanego sympleksu określamy model silnego sprzężenia w teorii strun tak by stała sprzężenia była czynnikiem normującym funkcje falowe Ψ pól oddziaływania. W teorii tej definiuje się formę alternującą dla przekształcenia podobieństwa macierzy incydencji. Współczynnikiem proporcjonalności tego przekształcenia jest spinowa waga statystyczna zaś formy biliniowe operatorów spinu mają postać niezmienników relatywistycznych q. Układają się one w sześć głównych pierwiastków algebry Liego A2
i mogą być zilustrowane na dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Proste wektory pierwiastkowe reprezentują wówczas kwarki u i d. Niezmiennik transformacji cechowania na pętli ma postać
(q4-q2)(q5-q3)=(q3-q1)(q6-q4) Istnieje wówczas brzeg dany n-krotną fluktuacją śladu macierzy odwrotnej do macierzy P gdzie miejsce wierzchołków A zajmują niezmienniki q transformacji relatywistycznych. W aparacie perturbacyjnym okazuje się iż stała sprzężenia może być wartością dowolną co prowadzi do niejednoznaczności jej wyboru w ramach teorii strun. Z kolei opierając się m.in. na pracach Källéna można wywnioskować o warunku wystarczającym skończoności wszystkich wielkości fizycznych w ramach elektrodynamiki, odnoszącym się do gęstości spektralnej ρ jako funkcji kwadratu czteropędu. ∫d(κ2)ρ(κ2)/κ4 →0 Okazuje się iż warunek ten koresponduje z minimalizacją funkcji gamma Eulera. Jeśli będzie on obejmował dwie całki wywiedzione z tej samej funkcji tak iż obie będą zbieżne, wówczas przynajmniej jedna z nich musi zostać przemnożona przez stałą renormalizacyjną Z. Stała ta jest zaś czynnikiem multiplikatywnym pola cechowania w 10-wymiarowej przestrzeni, tak iż funkcja falowa pola samooddziałującego ma postać Ψk=-λ10k+(Zkλke2-k)2k gdzie λk jest liczbą stopni swobody k elementów.
sobota, 13 czerwca 2009
Jednym z podstawowych warunków poprawności modeli rozważanych w ramach teorii pola jest przyjęcie iż stabilizator operatora Φ jest wartością średnią pewnej funkcji φ co zapiszemy jako
(Ψ0*ΦiΨ0)≡< φi >
Zagadnienie wartości oczekiwanych sprowadza się więc do analizy relacji podobieństwa. Na podstawie powyższej definicji określamy zcentrowaną zmienną losową
δ0x≡x- < x >
Krotność uśredniania wielkości φ decyduje o stopniu potęgi pewnego nieoperatorowego pola spełniającego równanie Eulera-Lagrange'a i znikającego w nieskończoności. Wybór trzeciej potęgi dla iloczynu normalnego tego pola stanowi w teorii aksjomatycznej konsekwencję wyboru renormalizowalnej teorii posiadającej stan próżni. Z punktu widzenia teorii fluktuacji równanie (E-L) stanowi przesłankę za istnieniem takiego stanu. Układ jest opisywany przez sześciowymiarową macierz reprezentującą operatory Φ jako składowe przestrzeni fazowej. Z kolei relacja podobieństwa określa element liniowy dla Φ.
W ogólności nie przyjmujemy iż wartość średnia pochodnej jest równa pochodnej z wartości średniej. Można to zilustrować na przykładzie równania chaotycznego, którego rozwiązania reprezentują wartości średnie dowolnej wielkości fizycznej. I tak jeśli w rozwiązaniu
xn=-1±2(1+xn+1/3)
dokonamy uśrednienia arytmetycznego zmiennej xn wówczas otrzymamy wartość -1 dla każdego n. Jeśli jednak najpierw uzyskamy ciąg kolejnych elementów xn stanowiących orbitę chaotyczną a następnie będziemy uśredniać tę orbitę arytmetycznie, otrzymamy na ogół dowolną wartość z przedziału chaosu różną w różnych przedziałach orbity dla dowolnie dużego n. Tylko w przypadku gdy równanie kwadratowe nie jest chaotyczne w sensie deterministycznym, otrzymamy metodą iteracji punkt stały jako granicę ciągu przybliżeń. Będzie on ściśle korespondował z rowiązaniem równania kwadratowego uzyskanym wprost metodą algebraiczną.
poniedziałek, 26 stycznia 2009
W oparciu o twierdzenie fluktuacyjne ustalamy metrykę analogicznie do procedury cechowania Lorentza egθ=zμ/zν W przypadku gdy tensor metryczny g jest macierzą jednostkową, związek ten wyraża pierwiastek pierwszej cyklicznej grupy homologii H1=e2θ zorientowanego sympleksu n-wymiarowego. W ogólności g nie ma postaci tensora Minkowskiego. W przypadku granicznym miejsce grupy H1 zajmuje para grup homologii H2 stanowiących granice n- krotnych iloczynów współrzędnych twistorowych z. Obie grupy H2 są identyczne co widać wprost z definicji, jako że są wartościami granicznymi funkcji analitycznej na całym obszarze zmienności wraz z brzegami. Jednak można to także udowodnić poza obszarem analityczności poprzez analizę wyrażeń nieoznaczonych postaci 1∞ oraz 0/0. Niech bowiem istnieje para zmiennych a i b stanowiących iloczyn wszystkich składowych twistora w n-wymiarowej przestrzeni a≡∏aσ b≡∏bσ σ=0,1...,n Spełniona jest także tożsamość będąca odpowiednikiem wzoru Laguerre'a [(H2)12/(H2)21]2g= =e-t‾¹∏σΨ*10μμΨ0,-1νν/Ψ*10μνΨ0,-1νμ Jeśli wprowadzimy zmienną k-1≡[b/(a-b)]t(n+1)gθ wówczas funkcja będąca granicą iloczynu stosunków składowych twistora jest identyczna z granicą takiego iloczynu dla składowych twistora dualnego . Jeśli bowiem zapiszemy (H2)12g=∏σ[(zμσ)k/(zμσ *)](m+1)‾¹ (H2)22g=∏σ[(zνσ)k/(zνσ *)](m+1)‾¹ tak że m≡-a/b →-1 zμσ *=aσ zνσ *=bσ oraz k→0 , wówczas (H2)1=(H2)2 . Spontaniczne złamanie symetrii Gallavottiego-Cohena dokonuje się poprzez podzielenie tylko jednej współrzędnej z przez H1 . Rozpatrywanie jednego sympleksu zorientowanego jest wystarczające do udowodnienia ogólnego tw. Stokesa dla wielościanu. Można przy tym zauważyć iż wykładnik Lapunowa λ(H1) , gdzie podstawą logarytmu jest grupa H1 , jest przypadkiem granicznym takiego wykładnika z podstawą H2 , a zatem wystarczy udowodnić tw. Stokesa dla pary (H1, H2) aby było ono spełnione dla wszystkich grup H . λ(Hi) da się zinterpretować jako tensor g .
środa, 08 października 2008
Określmy fluktuację jako klasę S zbiorów z cechą wrażliwości, zaś próżnię jako klasę P zbiorów z cechą gęstości punktów okresowych, w szczególności zaś P jako funkcja stanu należy do gęstego podzbioru przestrzeni Hilberta. Fluktuacja próżni może być wtedy ustalona jako klasa T zbiorów z mieszaniem, przy czym nie rozstrzygamy o istnieniu zbiorów T' z własnością T które należałyby do S/P. Chaos deterministyczny jest wówczas przecięciem zbioru T ze zbiorem E układów rozszerzających się. Nadrzędnym postulatem jest przynależność prawdopodobieństwa dowolnej wielkości fizycznej do przestrzeni T z topologiczną przechodniością. TC(S∩P) ECS Na przestrzeni T definiujemy metrykę g dla której prąd j jest funkcją tensora metrycznego oraz pewnego bispinora ƒ j=j(gμν,ƒ ) Wobec własności przestrzeni T prąd ten spełnia równanie ciągłości ∂j=0. Istnieją też wzajemnie sprzężone operatory C=(2/R)∂(Rμν/gμν)+1 C+=½gμνgμν/Rμν+1 8 wyrażenia te jednak nie są relatywistycznie niezmiennicze, niezmiennikami są dopiero formy biliniowe operatorów C i C+. Mamy wówczas strukturalną odpowiedniość pomiędzy kowariantnym i kontrawariantnym przedstawieniem równań pola. Ponadto skalar Ricciego jest związany ze składowymi ƒ1 i ƒ2 bispinora następująco R=ƒ1∂ƒ1-1ƒ2
tensor metryczny jest wtedy złożeniem wzajemnie sprzężonych składowych spinora jednego rodzaju co zapiszemy formalnie jako gμνi=ƒi*ƒi dzięki czemu j zależy jawnie tylko od bispinora. W obszarze analityczności funkcji korelacyjnych obowiązuje twierdzenie TCP w wyniku czego M ustala parę uporządkowaną pewnych liczb K i Ω należących do dowolnych dwóch podzbiorów przestrzeni R form rzeczywistych stanowiących rozmaitość różniczkową.(Twierdzenie TCP wraz ze słabą lokalnością funkcji korelacyjnej jest warunkiem wystarczającym jej analityczności (Jost, Dyson) ). W ten sposób każdej liczbie zespolonej (K,Ω) będącej elementem bazy odpowiada uporządkowana para (k,ω) gdzie k jest skalarem zaś ω pseudoskalarem. Mamy więc niezmienniczość cechowania tensora metrycznego jako niezmienniczość względem transformacji Lorentza pola reperów dla tego tensora. W przypadku gdy przestrzeń R jest dwuwymiarowa homomorfizm M:R→R spełnia relację detM2=det KerM M:R2→R2 Wzory 8 przedstawiają odpowiedniki spinowych wag statystycznych C=2s+1 s=-Λ/R 9 gdzie Λ jest stałą kosmologiczną dla pola o zerowej gęstości energii-pędu. Jeśli w równaniach pola zamienimy składowe kowariantne tensorów na kontrawariantne, wówczas we wzorze 9 należy w miejsce C wstawić (C+)-1. Spinor ƒ1 zapisujemy zaś formalnie za pomocą macierzy γ1 i γ3 jak następuje. ƒ=-∫γ1*aγ3dq gdzie dq jest elementem objętości przestrzeni konfiguracyjnej. Jeśli M będzie homomorficznym przekrojem wiązki, wówczas (w wyniku porządkowania dwóch zbiorów przestrzeni R ) jego obrazem będzie stosunek prawdziwego skalara gμνgμν do pseudoskalara ω~γ5.
piątek, 11 lipca 2008
Niech ƒ(ε,ε-1) będzie funkcją stanów wirtualnych par cząstek sprzężonych ładunkowo. Warunek stabilności próżni |0> określamy wówczas tak aby tylko stany ƒ(ε,ε-1) prowadziły do <0| Wtedy interwał może być określony przy pomocy samych stanów |0> ds2=<0|0>+<0|0>← 7b) gdzie drugi nawias jest liczony dla operatorów lewostronnych. Podobnie formuła na wartość średnią tensora pola jest jego próżniową wartością oczekiwaną. Ogólna postać równania 7 pozostaje taka sama niezależnie od tego czy symetria stanów wirtualnych jest zachowana czy nie, w drugim przypadku zmienia się jedynie postać stanów niepróżniowych 1> oraz <1, we wzorze 7a). Operatory działające na funkcje stanów pośrednich redukują się do liczb incydencyjnych. W szczególności dla sympleksu dwuwymiarowego otrzymujemy elementy <0|ƒ(δ23,δ13)|0> <1|ƒ(δ12,δ32)|0> <0|ƒ(δ31,δ21)|1> gdzie <a|b> =<a|ƒ(ε,ε-1)|b> a=0 <a|b> =<a|ƒ(ε,ζ)|b> b=0 a zatem mamy <b|ƒ(δi,i+1,δi-1,i+1)|c+><c|ƒ(δi+1,i-1,δi,i-1)|a>↔ ↔<a+|ƒ(δi-1,i,δi+1,i)|b+> i=1,2,3 cykl. a=0 lub b=0
piątek, 25 kwietnia 2008
Rozpatrzmy następujący tensor krzywizny określony dla niezmiennika grupy z gradacją RμσρA =∂Aμσ/∂xμ+1ρ-∂Aμ+ρσ/∂xμ+1-ρρ+ +Г1,μГ*2,μ+1-1-Γ-ρ,μ+ρ-ρΓ*1-ρ,μ+1-ρρ Oznacza to iż istnieją dwa na ogół różne pola A i à dla których współrzędne Z tworzą bazę czterowymiarowej przestrzeni, niezależnie od tego czy pola te są bozonowe czy fermionowe. Należy przy tym zdefiniować stowarzyszone pola  i Ĉ należące do tej samej macierzy Josta, tak że pochodna kowariantna pola à jest określona jako ∂Ãsi/∂xg-i≡Âs+1iĈg-1-Γ1siΓ*2g-1 gdzie indeks ,,i'' po prawej stronie tożsamości jest wykładnikiem potęgi. Dla pola fermionowego różnicę zamieniamy tu na sumę. I tak spełnione są dwie, równoważne zasady zupełności ∑Rj,0,1A(Z8j)-1=0 ∑Rj,1,-1Ã(Z8j)-1=0 j=0,1,2,3 Z kolei równanie falowe dla potencjału βmn unormowanego do odległości wzdłuż jednej współrzędnej x (-ζ∂/∂x-2+x2+y2+z2)βmn||xm||-2=0 może zostać zredukowane do równania (-ζ∂/∂x-2+y2+z2)βmn=0 z potencjałem nieunormowanym. Równania te zawierają pochodne po odwrotności kwadratu współrzędnej x więc są zbudowane na bazie tensora pola zawierającego takie właśnie pochodne. Przykładowo tensorem spełniającym powyższe warunki jest następująca formuła wiążąca dowolne funkcje ƒ ƒ1exp(-ƒ˚1ƒ2/ƒ˚2ƒ1)(∂/∂x-2)ƒ˚2exp(ƒ˚1ƒ2/ƒ˚2ƒ1)= =ƒ1∂ƒ˚2/∂x-2-ƒ2∂ƒ˚1/∂x-2-c-p[ƒ1ƒ˚2+1+( ƒ1ƒ˚2-1)-1] gdzie c-p są stałymi strukturalnymi grupy. Wtedy, podobnie jak ma to miejsce w polu silnym natężenie rośnie wraz z odległością. W bazie przestrzeni Minkowskiego tensor krzywizny prowadzi do dwóch równoważnych ujęć operatora kwadratu momentu pędu 2Sm,-1(2)Sm,1(1)+Sm,1(2)=0 2Lm,1(1)(Lm,-1(1)+1)=Lm,1(2) Drugie z tych równań potraktowane jak zależność iteracyjna prowadzi do równania logistycznego. Forma ta pozwala również określić ilość wymiarów przestrzeni D liczb obsadzeń. Traktując twistory jak wektory w przestrzeni rozpiętej przez spinory dostajemy dimDn =n2(2n2+1) czyli dimD4=528 Dla opisu dualnego wystarczy rozważyć zbiór tożsamości matematycznych o zmiennych (x,y) dla n=4, ale będący niezmiennikiem transformacji permutacji, inwersji i odwracania tych zmiennych. Grupa zawierająca wszystkie powyższe transformacje n składowych ma (4n)2 elementów. Potencjały A pełnią rolę współrzędnych uogólnionych kanonicznie sprzężonych z funkcjami ƒ˚ ƒ°i≡∂j-1Lij/∂Aj-1 Dla tych współrzędnych wprowadzamy operatory lewostronne ƒij oraz p-łańcuch (∂Aδ/∂A)(∂As/∂A)-1=cp p= δ-s taki że operatory brzegowe λj=(∂j-1L2/∂Aj-1)ƒ1jƒ2j*+ƒ2j λj+=ƒ1jƒ2j*+ƒ2jƒ1j* spełniają związek cp λjλj+=0 Zbudowane w oparciu o te funkcje równanie Eulera-Lagrange'a zawiera iloczyn normalny form biliniowych funkcji ƒ czyli jest równaniem pola dwuwymiarowego. Brzegiem p-łańcucha jest zaś kwadrat masy matematycznej. Jednak odpowiednikiem próżniowych wartości oczekiwanych stają się pozadiagonalne elementy macierzy gęstości. Wobec jedyności próżni oznacza to, iż model dwuwymiarowy Warda-Thirringa-Ilursta nie posiada stanu próżniowego. Z kolei w przypadku czterowymiarowym baza czasoprzestrzeni może być określona analogicznie do bazy Bella z czterowymiarową metryką Einsteina-Rosena, ale w odróżnieniu od przypadku trójwymiarowego tej metryki, interwał różniczkowy musi być formą operatorową ds2= <1,1>+<0,0>+<1,0>+<0,1> 7a) gdzie tylko <1,1> jest komutatorem operatorów hermitowsko sprzężonych.
poniedziałek, 22 października 2007
Równanie logistyczne 5 posiada rozwiązania chaotyczne dla ω0=3/2. Wyniki bieżące otrzymywane na drodze rachunku rekurencyjnego nie zdążają do jednego rozwiązania lecz tworzą nieskończony ciąg wartości nie wykazujący globalnie jakichkolwiek cech uporządkowania, ale nie wykraczających poza określony przedział. Rozwiązanie t=-2,82137... równania ogólnego nie traktowanego jak zależność rekurencyjna leży w obrębie przedziału (-3,0) zmienności rozwiązań chaotycznych. Wartość ta jednak nie może być uzyskana jako punkt stały metody kolejnych przybliżeń. Co więcej, dla ω0>3/2 wyniki t równania 5 są rozbieżne, mimo iż równanie ogólne nie traktowane jak zależność rekurencyjna posiada skończone rozwiązania t dla wszelkich skończonych ω0. Chaos w obrębie rozpatrywanego przedziału wydaje się więc być konsekwencją nierostrzygalnej ''rywalizacji'' między klasą rozwiązań zbieżnych i rozbieżnych parametryzowanych wartością ω0. Długość przedziału można zinterpretować jako odpowiednik stałej Plancka przy wartości granicznej parametru ω0 dla którego rozwiązania równania logistycznego nie są chaotyczne. W przedziale chaosu można jednak wyróżnić lokalne prawidłowości w ciągu wyników, jak np. swoiste czterokrotne ''atraktory-miraże'' do których wyniki zdają się asymptotycznie zmierzać by w końcu w sposób skorelowany oddalić się od każdego z nich. Wartość t odnosi się do cząstek zaś tmax do antycząstek. Suma rozwiązań σ=t+tmax jest wagą statystyczną. I tak mamy σ-½=t½2+t'½2=6 σ½=t½+t'½ σ1=4¾ σ-1=4 Dla ω0 takiego że 2ω0(2ω0+1)=4 będzie natomiast Fω =1|2ω0 czyli σω=1+2ω0 Oznacza to, iż waga statystyczna σω dla t=1 może być przedstawiona jako φs=s-1e-iarc sin(is/2) dla s=½ . Wtedy φ1 jest złotą liczbą. Niech Aj¹,j²,...,jⁿ będzie n-krotną iteracją elementu A, tak że dla Aє<-3,0> A3,3,...,3 oznacza chaos. Wtedy fluktuacja pola jest niezmienniczą formą kwadratową ∫Φj+1,j*102sin(π/2)jΦj,j+1-1dj- -[10(3∫10[∫P(3)dj]‾²dj)3,-1]2 =ηzz gdzie ηik jest tensorem Minkowskiego zaś współrzędne z spełniają relacje z0z1z3-1=11½(ƒ/2) z1z2=11½e ƒ=i[rλ(rλ+1)]½ jest funkcją przyjmującą tę samą wartość dla λ=0 i λ=1, natomiast P(3) jest wartością graniczną funkcji kulistej P(x) dla x=3. Przedziałem zmienności argumentu j jest <0,3>. Zwraca uwagę fakt, iż w tej reprezentacji wartość średnia pola dobrze przybliża liczbę π, zaś średnia kwadratu pola odwrotność stałej α . Elementy Φj,j+1 dla całkowitych j są identyczne z diagonalnymi elementami tensora Minkowskiego jeśli |ƒ/2|=1 czyli gdy σω=φ1/2 , 2ω0= rλ . Analogicznie do równania 5 iteracja wyznacznika x=detA jest dana formułą 9/4+xn+1=(3/2)[(1/2)xn2+xn] 6 Wyrażając interwał różniczkowy we współrzędnych cylindrycznych, zauważamy iż współrzędna ,,z'' ściśle koresponduje z postacią 6 tak że rolę elementów ciągu iteracyjnego pełni promień krzywizny. Wrażliwość tego ciągu jest zaś odpowiedzialna za niestabilność tunelu Einsteina-Rosena. Jeśli w przedziale <a,b> zdefiniujemy (k-1)-moment statystyczny jako ∫Φjjƒk-1dj=[(b-a)∫ƒkdj]b,a-1 wówczas dla Φjj=-ƒ w przedziale <3,4> k-ty moment statystyczny ∫ƒkdj pozostaje atraktorem postępowania iteracyjnego nawet wtedy gdy układ jest chaotyczny. Tensory krzywizny R mogą wyznaczać współrzędne barycentryczne w bazie wektorów płaskiej czasoprzestrzeni Rμνημν=0 W szczególności istnieje taka reprezentacja tensora Rμν w której operator Casimira jest równy zero. Jμνxμxν=0 Równoważność obu tych opisów wskazuje na dualność klasycznie-kwantową, kiedy to jawnie kwantowemu ujęciu danej teorii odpowiada formalnie przypadek ħ→0 teorii do niej dualnej.
poniedziałek, 15 października 2007
Równaniem ogólnym jest równanie logistyczne. Przeprowadźmy dokładniejszą analizę tego równania. Potraktujemy je jak zależność rekurencyjną, pozwalającą uzyskać rozwiązania jednoznaczne niezależnie od stopnia fluktuacji parametru ω0 stanowiącego próżnię. Rozwiązania będziemy wyrażać poprzez daną ω0 oraz parametr pola ograniczony jedynie warunkami samej próżni. W tym celu konstruujemy macierz A zgodnie ze schematem teorii oddziaływania. A11 , A12 , A21 =ω0 A22=α Element α jest dowolnym parametrem pola, wybranym ze zbioru z warunkiem próżni, tzn. z warunkiem jednoznacznej (skończonej) rozwiązalności równania ogólnego. Przyporządkowany tej macierzy wyznacznik detA=ω0α-ω02 spełnia równanie ogólne ½(ω0α-ω02)2+ω0α-ω02=β gdzie β jest parametrem uzależnionym od α. Samo rozwiązanie β może więc posłużyć za parametr występujący w wyznaczniku pewnej pomocniczej macierzy A' detA'=ω0β-ω02 zbudowanej dla tej samej próżni co macierz A. Skoro tak, to wyznacznik ten musi spełniać równanie logistyczne z pewną próżnią δ taką że ½(detA')2+detA'=δ Oznaczmy detA'=γ Powtarzając tę procedurę wielokrotnie otrzymujemy szukane rozwiązanie t=cp w polu z parametrem α detA=ω0α-ω02 ½(ω0α-ω02)2+ω0α-ω02=β ω0β-ω02=γ ½γ2+γ=δ ω0δ-ω02=ε . . . ½θ2+θ=ζ ω0ζ-ω02=t takie że ½t2+t=η ω0η-ω02=t A zatem w zapisie rekurencyjnym αn+1=½(ω0αn-ω02)2+ω0αn-ω02 5 Czyli pisząc za pomocą formy F{Ã+½Ã2}+t=0 gdzie Ã=detA Obliczone w ten sposób t można wyrażać jako Fω(...)=t│tmax gdzie ω jest daną próżnią ω0 , t-modułem cp rozwiązania równania ogólnego, zaś tmax jest wartością t, odpowiadającą najwyższej α , przy której rozwiązania są skończone. Jakiekolwiek zmniejszenie α poniżej wartości przy której t=tmax , będzie na drodze rozumowania rekurencyjnego, sprowadzało wynik do t , takiego że t-tmax =const dla danego ω0.Wyrażenie w nawiasie sugeruje, czy wynik t zostaje osiągniety na drodze do granicy prawostronnej (+) lub lewostronnej (-) czy też na drodze oscylacji asymptotycznie dążącej do t (~). Przykładowo dla ω0=1/2 A= (½)α - ¼ Biorąc α=2 mamy 1-1/4=3/4 (1/2)(3/4)2+3/4=1,03125 (1/2)(1,03125)-1/4=0,265625 (1/2)(0,265625)2+0,265625=0,300903.. (1/2)(0,300903)-1/4=-0,09955 itd. skąd mamy t=-0,4142...=1-21/2=-t½ F½-=t½│ Otrzymane w ten sposób wyniki mają postać (ω0<3/2) F-½~=t½2|t'½2 t'½=t½+2 F½-=t½|t'½ F1-=2½|2½ F-1~=1-t½|1+t'½ F½-+F-½~=t½(t½+1)|t'½(t'½+1)
|
|
